Question

【題目】如圖，過點A（﹣1，0）、B（3，0）的拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E．

（1）求拋物線解析式；

（2）求拋物線頂點D的坐標；

（3）若拋物線的對稱軸上存在點P使S△PCB=3S△POC，求此時DP的長．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）頂點D的坐標為（1，4）；

（3）DP的長為1或5．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法即可求得解析式；

（2）把拋物線解析式化成頂點式，即可得出頂點坐標；

（3）求出△POC的面積，由三角形的面積關系得出PF=3，求出直線BC的解析式，得出F的坐標，再分兩種情況討論，即可得出DP的長．

試題解析：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=3，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標為（1，4）；

（3）設BC與拋物線的對稱軸交于點F，如圖所示：

則點F的橫坐標為1，

∵y=﹣x2+2x+3，

當x=0時，y=3，∴OC=3，∴△POC的面積=×3×1=，

∵△PCB的面積=△PCF的面積+△PBF的面積=PF（1+2）=3×，解得：PF=3，

設直線BC的解析式為y=kx+a，則，解得：a=3，k=﹣1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當x=1時，y=2，

∴F的坐標為（1，2），∴EF=2，

當點P在F的上方時，PE=PF+EF=5，∴DP=5﹣4=1；

當點P在F的下方時，PE=PF﹣EF=3﹣2=1，∴DP=4+1=5；

綜上所述：DP的長為1或5．