Question

如圖，中，，，過點作∥，點、分別是射線、線段上的動點，且，過點作∥交線段于點，聯接，設面積為，．

（1）用的代數式表示；
（2）求與的函數關系式，并寫出定義域；
（3）聯接，若與相似，求的長．

Answer 1

（1） （2） （3）

試題分析：（1）∵∥，∥，
∴四邊形是平行四邊形               
∴，                 
,                
可得                           
（2）∵，
∴∠∠
又∠ =∠，∠=∠，
∴∠=∠，
∴
∴當時，；                           
作，，垂足分別為點、，

則易得，，，
由∠=∠，∠=∠
得△∽△
∴，
∴，
∴                              
                                        
所以與的函數關系式是
                            
（3）【解法一】當時
由，，∠∠
可得△≌△，于是         
由于∠∠，
所以若△與△相似，
只有△∽△
可得                                 
于是得，解得                
同理當，可得（不合題意，舍去）   
所以，若△與△POQ相似，AP的長為。
【解法二】當時，可得，
于是得,
                           
由于∠=∠，
所以若△與△相似，只有△∽△
                                  

解得，（不合題意，舍去）          
所以，若△與△相似，的長為      
點評：本題考查求函數的關系式和相似三角形的證明，要求考生會求函數的關系式，以及相似三角形的證明方法