Question

在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M、N分別為AB、BD中點．連接MN交CE于點K．
（1）如圖1．當C、B、D共線，AB=2BC時，探索CK與EK之間的數量關系，并證明；
（2）如圖2，當C、B、D不共線，且AB≠2BC時，（1）中的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）將題中的條件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一個條件，寫出一個類似的對一般三角形都成立的問題．（畫出圖形，寫出已知和結論，不用證明）

Answer 1

解：（1）CK=EK；
證明：∵BC=DE，AC=BE，∠ABC=∠BDE=90°，
∴△ABC≌△BDE，
∴AB=BD；
∵M、N分別為AB、BD中點，AB=2BC，
∴BM=AM=BC=AB=BD=DN=BN，
∴∠BMN=∠BNM=∠DNE=∠BMC=45°，
∴∠CMN=∠MNE=90°，
連接CM、EN，
則△BCM≌△DEN，
∴CM=NE，又∠CKM=∠EKN，
∴△CMK≌△ENK，
∴CK=EK；

（2）CK=EK；
過C、E分別作直線MK的垂線段，垂足分別為P、Q，
由（1）知△ABC≌△BDE，△BCM≌△DEN，
∴BM=BN，CM=NE，∠DNE=∠CMB，
∴∠BNM=∠BMN，
∴180°-∠BNM-∠DNE=180°-∠BMN-∠CMB，
即∠CMP=∠ENQ，
又∵∠CPM=∠NQE=90°，CM=EN，
∴△CMP≌△ENQ，
∴PC=QE，
∵∠CPQ=∠EQP=90°，∠EKQ=∠CKP，
∴△CPK≌△EQK，
∴CK=KE；

（3）如圖，△ABC≌△BDE，M、N分別為AB、DB中點，直線MN交CE于K．
結論：CK=EK．
分析：（1）連接CM、BN，由已知易證得△ABC≌△BDE，可得到AB=BD；再通過證明△BCM≌△DEN，得CN=NE；接下來易證得△CMK≌△ENK，即可得CK=EK．
（2）過C、E分別作直線MK的垂線段，垂足分別為P、Q，首先證明△CMP≌△ENQ，可得PC=QE，然后易證明△CPQ≌△EQK，即得CK=EK．
（3）據題意，畫出圖形即可．
點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．解答此題的關鍵在于正確作出輔助線．