Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，且∠BAO=30°，現(xiàn)將△OAB沿直線AB翻折，得到△CAB. 連接OC交AB于點(diǎn)D.

（1）求證：AD⊥OC，OD＝OA ；

（2）若Rt△AOB的斜邊AB＝，則OB＝_____；OA＝_____；點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______；

（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以2個(gè)單位長度/秒的速度沿折線O﹣A﹣C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)△FOB的面積為S（S＞0），點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；

（4）在（3）的條件下，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交AC于點(diǎn)E，在動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】 (1)見解析； （2）,6, （，3） (3) ;(4) 當(dāng)t＝1或3時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到△OAC是等邊三角形；結(jié)合等邊三角形的“三線合一”的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）如圖1，過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H點(diǎn)，在直角△OCH中，利用三角函數(shù)求得CH和OH，則C的坐標(biāo)即可求得；
（3）分成當(dāng)0＜t≤3和3＜t≤6兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；
（4）分成B是頂角頂點(diǎn)和E是頂角頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論．

試題解析：

（1）由折疊得性質(zhì)得： CA＝OA， CB＝OB，∠BAC＝∠BAO＝30°，∠ACB＝∠AOB＝90°，

∴ ∠ABC＝∠ABO=60°，

∴ △OAC是等邊三角形

∴OC＝OA ，

∵ ∠DAC=∠DAO ，

∴ AD⊥OC且OD＝OC ；

∴ AD⊥OC且OD＝OA ；

（2） OB＝； OA＝6； C（，3）；

（3）分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖1， OF＝2t， ；

②當(dāng)3＜t≤6時(shí)，如圖2， AF＝2t﹣6， 過點(diǎn)F作FG⊥OA于G，

則 ， OG＝OA－ AG＝6﹣（t﹣3）＝9﹣t，

；

綜上所述：

（4）分兩種情況討論：

① 當(dāng)腰BE＝BF時(shí)， 如圖3，

∵BE∥OA ，

∴∠ABE＝∠OAB＝30° ，

∴∠EBA＝∠EAB＝30° ，

∴BE＝AE 且∠EBC＝60°－30°＝30° ，

∵在Rt△BOF和Rt△BCE中，BF＝BE ，BO＝BC ，

∴△BOF≌△BCE，（HL）

∴OF＝CE 且 ∠FBO＝∠EBC＝30° ，

∴∠EBF＝120°－30°－30°60° ，

∴ 此時(shí)△BEF為等邊三角形．BF=AF，

在Rt△FBO 中，∵ ∠FBO＝30°

∴ FO＝BF＝AF，

∴AF＝2 FO．

∴AO＝3FO．

∴3FO＝6，

∴ FO＝2 ，

∴ 2t＝2，

∴此時(shí)t＝1，

②當(dāng)腰BE＝FE時(shí)，由上可知，點(diǎn)F使得△BEF為等邊三角形 或 點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)與A點(diǎn)重合，

則 2t＝2，或者 2t＝6，

∴ 此時(shí) t＝1，或 t＝3，；

綜上所述，當(dāng)t＝1或3時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形．