Question

【題目】（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB＝∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN＝60°時，結論AM＝MN是否還成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論AM＝MN還成立；證明見解析；

【解析】

（1）在邊AB上截取AE＝MC，連接ME，由題中條件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由兩角夾一邊即可判定三角形全等；

（2）還是利用兩角夾一邊證明其全等，證明方法同（1）．

（1）證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME．

∵正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．

∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB＝∠MAE，

BE＝AB﹣AE＝BC﹣MC＝BM，

∴∠BEM＝45°，∴∠AEM＝135°．

∵N是∠DCP的平分線上一點，

∴∠NCP＝45°，∴∠MCN＝135°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE＝∠NMC，AE＝MC，∠AEM＝∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM＝MN．

（2）解：結論AM＝MN還成立

證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME．

在正△ABC中，∠B＝∠BCA＝60°，AB＝BC．

∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAE，

BE＝AB﹣AE＝BC﹣MC＝BM，

∴∠BEM＝60°，∴∠AEM＝120°．

∵N是∠ACP的平分線上一點，

∴∠ACN＝60°，∴∠MCN＝120°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE＝∠NMC，AE＝MC，∠AEM＝∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM＝MN．