Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(－4,0)、B(2,0)，在y軸上有一點 E(0，－2)，連接AE．

　　　　

（1）求二次函數的表達式；

（2）點D是第二象限內的拋物線上一動點．若tan∠AED＝，求此時點D坐標；

（3）連接AC，點P是線段CA上的動點，連接OP，把線段PO繞著點P順時針旋轉90°至PQ，點Q是點O的對應點．當動點P從點C運動到點A時，判斷動點Q的軌跡并求動點Q所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）Q點的軌跡長為．

【解析】

（1）將A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6，即可求解；
（2）tan∠AED＝，由勾股定理得出AN＝，NE＝，證明Rt△AFN∽Rt△EFO，得到，求出OF＝2，得到直線EF的解析式，再聯立方程組即可求解；
（3）Q點隨P點運動而運動，P點在線段AC上運動，Q點的運動軌跡是線段，即可求解．

解：（1）將A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6（a≠0），

，解得：a＝，b＝，
∴；

（2）過點A作AN⊥DE，DE與x軸交于點F，

∵tan∠AED＝，即，

設AN=m，則EN=3m，

∵AE=，

∴，即

解得：m=，
∴AN＝，NE＝3，
∵∠ANF=∠EOF，∠AFN=∠EFO，

∴Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴，
∵EF2＝OF2＋4，
∴NF＝3EF=，
∴，
∴解得：OF＝2或OF=-14（舍去），
∴F（2，0），
設直線EF的解析式為y=kx+n，

將E（0,-2）和F（-2,0）代入得，解得k=-1，n=-2，

∴直線EF解析式為y＝x2，
由，得或，

∵點D在第二象限，

∴；

（3）∵Q點隨P點運動而運動，P點在線段AC上運動，
∴Q點的運動軌跡是線段，
當P點在A點時，Q（4，4），
當P點在C點時，Q（6，6），
∴Q點的軌跡長為．