Question

【題目】（題型一）請你參與下面的探究過程，完成所提出的問題.

（1）探究1：如圖11-3-3（1），P是△ ABC的內角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點，若∠A=70°，求∠BPC度數.

（2）探究2：如圖11-3-3（2），P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點，求∠BPC與∠A的數量關系，并說明理由．邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點，設∠A+∠D=α.

①直接寫出∠BPC與α的數量關系；

②根據α值的情況，判斷△BPC的形狀.（按角分類）

（1） （2） （3）

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=125°；

（2）∠BPC=90°-∠A.理由見解析；

（3）當0°<α<180°時，△BPC是鈍角三角形;當α=180°時，△BPC是直角三角形;當α>180°時，△BPC是銳角三角形.

【解析】試題分析：（1）先根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數，再根據角平分線的性質求出∠PBC+∠BCP的度數，由三角形內角和定理即可求出答案；

（2）根據角平分線的定義可得∠PCE=∠BCE，∠PBD=∠CBD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；

（3）①根據四邊形的內角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（2）解答即可；②根據α的值的情況，得到∠P的取值范圍，即可得到結論．

試題解析：（1）∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.

∵BP，CP分別是∠ABC，∠ACB的平分線，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，

∴∠PBC+∠BCP=1/2（∠ABC+∠ACB）=55°.

∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，

∴∠BPC=125°.

（2）∠BPC=90°-∠A.

理由：∵BP，CP分別是外角∠DBC，∠ECB的平分線，

∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）.

在△PBC中，∠BPC=180°-（180°+∠A）=90°-∠A.

（3）如圖，

①延長BA，CD交于點Q，

由（2）可知，∠BPC=90°-∠Q，

∴∠Q=180°-2∠BPC，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°-2∠BPC=360°-2∠BPC.

∴∠BPC=180°-α.

②當0°<α<180°時，△BPC是鈍角三角形;

當α=180°時，△BPC是直角三角形;

當α>180°時，△BPC是銳角三角形.