Question

（2011•香坊區(qū)模擬）已知△ABC，AC=BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)F在BD上，連接CF，AM⊥CF于點(diǎn)M，AM交CD于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，求證：DE=DF；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，DE與DF的數(shù)量關(guān)系是

DF=

3

DE

（3）在2的條件若tan∠EAF=

3

4

，EM=

9 19

19

，連接EF，將∠DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊交線段CF于N、G兩點(diǎn)，交線段BC于P、T兩點(diǎn)（如圖3），若CN=3FN，求線段GT的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）此題需先根據(jù)已知條件得出AD=CD，∠DCF=∠FAM，∠ADE=∠FDC，再根據(jù)AAS證出△ADE≌△CDF，即可得出DE=DF；
（2）根據(jù)∠ACB=60°，得出△ABC是等邊三角形，從而得出∠ACB=30°，

CD

AD

=Ctan30°=

3

，再根據(jù)△ADE∽△CDF，得出

DF

DE

=

CD

AD

的值，即可得出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；
（3根據(jù)已知條件得出EC的值，再設(shè)DE=

3

x，則AD=4x，CD=4

3

x，CE=3

3

x，求出x的值，根據(jù)

CN

CF

=

CE

CD

=

3

4

，得出EP∥AB，從而證出△EPT為等邊三角形，求出EG的值，從而得出EP=ET=3，即可求出線段GT的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴AD=CD，
∵AM⊥CF，
∴∠DFC+∠FAM=90°，
∴∠DCF=∠FAM，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF；

（2）∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=30°，
∴

CD

AD

=Ctan30°=

3

，
∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴

DF

DE

=

CD

AD

=

3

，
∴DF=

3

DE；

（3）∵tan∠EAF=tan∠ECM=

3

4

，EM=

9 19

19

，
∴EC=3

3

，
設(shè)DE=

3

x，則AD=4x，CD=4

3

x，CE=3

3

x，
∴x=1，
∴AD=4，DE=

3

，AE=

19

，AB=8，
∵

CN

CF

=

CE

CD

=

3

4

，
∴EP∥AB，
∵DF=

3

DE，
∴∠PET=60°，
∴△EPT為等邊三角形，
∴EG∥AC，
∴

EG

AC

=

ME

MA

，
∴EG=

18

7

，
∴

EP

BD

=

CE

CD

=

3

4

，
∴EP=ET=3，
∴GT=ET-GT=

3

7

；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)；是一道綜合題，解題時(shí)要注意有關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用．