Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD= ．
（1）求證：CD∥BF；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求弦CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BF是⊙O的切線，

∴AB⊥BF，

∵AB⊥CD，

∴CD∥BF

（2）解：連接BD，∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，

∴cos∠BAD= ，

又∵AD=3，

∴AB=4，

∴⊙O的半徑為2

（3）解：∵∠BCD=∠DAE，

∴cos∠BCD=cos∠DAE= ，AD=3，

∴AE=ADcos∠DAE=3× = ，

∴ED= ，

∴CD=2ED= ．

【解析】（1）由BF是⊙O的切線得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可證明CD∥BF；（2）連接BD，由AB是直徑得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，所以cos∠BAD= ，然后利用三角函數即可求出⊙O的半徑；（3）由于cos∠DAE= ，而AD=3，由此求出AE，接著利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．