Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，直徑AD⊥BC于E，點F是OE的中點，且BD∥CF．

(1)若BD＝3，求BC的長．

(2)若BD平分∠CBP，求證：ABBD＝BPAF．

Answer 1

【答案】(1)BC=2；(2)證明見解析.

【解析】

（1）由直徑AD⊥BC，根據垂徑定理得到E為BC中點，又BD與CF平行，得到兩對內錯角相等，從而利用“AAS”得到三角形BDE與三角形CFE全等，根據全等三角形的對應邊相等得到DE=EF，設ED=EF=x，由已知F為OE中點，得到OE=2EF=2x，OD=OA=3x，則AD=6x，再由直徑AB所對的圓周角為直角得到∠ABD=90°，又根據垂直定義得到∠AEB=90°，故兩個角相等，再根據∠BED為公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△ABD∽△BED，由相似得比例列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即可求出BD和DE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出BE的長，進而求出BC的長；
（2）連接BF，根據AB為圓的直徑，得到其所對的圓周角為直角，根據直角三角形兩銳角互余得到∠BAD+∠ADB=90°又根據AD與BC垂直根據垂直定義得到一個直角，同理可得∠DBE+∠ADB=90°，根據同角的余角相等得到∠BAD=∠DBE，根據角平分線定義得到∠PBD=∠DBE，利用等量代換得到∠BAD=∠PBD，由（1）可知BE垂直平分FD，故BF=BD，根據“等邊對等角”得到∠BFD=∠BDF，再根據等角的鄰補角相等得到一對角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似，得到△ABF∽△BPD，由相似得比例變形后得證．

解：(1)∵直徑AD⊥BC于E，

由垂徑定理得：BE＝CE，

又∵BD∥CF，

∴∠ECF＝∠EBD，∠EFC＝∠EDB，

∴△BED≌△CEF，

∴DE＝EF，

設DE＝EF＝x，

又∵點F是OE的中點，

∴OE＝2EF＝2x，OD＝OA＝3x，AD＝6x，

∵AD是⊙O直徑，

∴∠ABD＝90°，

又AD⊥BC，∴∠AEB＝90°，

∴∠ABD＝∠AEB，又∠BDE＝∠BDE，

∴△ABD∽△BED，

∴，即，

解得：x＝，

在直角三角形BDE中，

根據勾股定理得：BE＝，

則BC＝2BE＝2；

(2)連接BF，AB，

∵AD是⊙O直徑，

∴∠ABD＝90°，

∴∠BAD+∠ADB＝90°

又AD⊥BC，∴∠AEB＝90°，

∴∠DBE+∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝∠DBE，

又∵BD平分∠CBP，

∴∠PBD＝∠DBE，

∴∠BAD＝∠PBD，

由(1)可知：DE＝EF，且AD⊥BC，

∴BE是DF的垂直平分線，

∴BF＝BD，

∴∠BFD＝∠BDF，

∴∠AFB＝∠BDP，

∴△ABF∽△BPD，

∴，即ABBD＝BPAF．