Question

【題目】已知，在以O為原點的直角坐標系中，拋物線的頂點為A （﹣1，﹣4），且經過點B（﹣2，﹣3），與x軸分別交于C、D兩點．

（1）求直線OB以及該拋物線相應的函數表達式；

（2）如圖1，點M是拋物線上的一個動點，且在直線OB的下方，過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N，求MN的最大值；

（3）如圖2，過點A的直線交x軸于點E，且AE∥y軸，點P是拋物線上A、D之間的一個動點，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點．當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線OB解析式為y=x，拋物線為y=x2+2x﹣3；（2）；（3）點P運動時，EF+EG為定值8．

【解析】

試題分析：（1）由B點坐標利用待定系數法可求直線OB解析式，利用頂點式可求得拋物線解析式；

（2）設M（t，t2+2t﹣3），MN=s，則可表示出N點坐標，由MN的縱坐標相等可得到關于s和t的關系式，再利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）設P（t，t2+2t﹣3），則可表示出PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性質可用t分別表示出EF和EG的長，則可求得其定值．

試題解析：（1）設直線OB解析式為y=kx，由題意可得﹣3=﹣2k，解得k=，

∴直線OB解析式為y=x，

∵拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣4），

∴可設拋物線解析式為y=a（x+1）2﹣4，

∵拋物線經過B（﹣2，﹣3），

∴﹣3=a﹣4，解得a=1，

∴拋物線為y=x2+2x﹣3；

（2）設M（t，t2+2t﹣3），MN=s，則N的橫坐標為t﹣s，縱坐標為，

∵MN∥x軸，

∴t2+2t﹣3=，得s==，

∴當t=時，MN有最大值，最大值為；

（3）EF+EG=8．理由如下：

如圖2，過點P作PQ∥y軸交x軸于Q，

在y=x2+2x﹣3中，令y=0可得0=x2+2x﹣3，解得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），D（1，0），

設P（t，t2+2t﹣3），則PQ=﹣t2﹣2t+3，CQ=t+3，DQ=1﹣t，

∵PQ∥EF，

∴△CEF∽△CQP，

∴，

∴EF=PQ=（﹣t2﹣2t+3），

同理△EGD∽△QPD得，

∴EG=PQ=，

∴EF+EG=（﹣t2﹣2t+3）+=2（﹣t2﹣2t+3）（）=2（﹣t2﹣2t+3）（）=2（﹣t2﹣2t+3）（）=8，

∴當點P運動時，EF+EG為定值8．