Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第二、四象限的角平分線．
（1）實驗與探究：由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（-2，0），請在圖中分別標明B（-1，5）、C（3，2）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出他們的坐標：B′、C′；
（2）歸納與發現：結合圖觀察以上三組點的坐標，你會發現坐標平面內任一點P（a，b）關于第二、四象限的角平分線l的對稱點P'的坐標為

 

（不必證明）；
（3）運用與拓展：已知兩點D（-1，-3）、E（2，-4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）分別作B（-1，5）、C（3，2）關于直線l的對稱點B'，C'，B'（-5，1）、C'（-2，-3）；
（2）觀察以上三組點的坐標，你會發現坐標平面內任一點P（a，b）關于第二、四象限的角平分線l的對稱點P'的坐標為（-b，-a）；
（3）點D關于直線l的對稱點D'的坐標為（3，1），可求出點E、點D'的直線解析式為y=5x-14．點Q是直線y=5x-14與直線l：y=-x的交點，解方程組：

y=5x-14 y=-x

即可得到點Q的坐標．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）如圖：（2分）
B'（-5，1）、C'（-2，-3）；（4分）

（2）P（-b，-a）；（6分）

（3）點D關于直線l的對稱，
點D'的坐標為（3，1），[注：求出點E的對稱點的坐標參照給分]
設過點E、點D'的直線解析式為：y=kx+b，（8分）
分別把點E、D'的坐標代入其中，
得關于k、b的二元一次方程組，
解得k=5，b=-14，（9分）
∴y=5x-14，
點Q是直線y=5x-14與直線l：y=-x的交點，（10分）
解方程組：

y=5x-14 y=-x

得

x= 7 3 y=- 7 3

，（11分）
∴點Q的坐標為（

7

3

，-

7

3

）．（12分）

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了一次函數的知識．