Question

如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構成命題．

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；
（2）寫出按題意構成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的形式）

Answer 1

（1）根據平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，（或用全等）根據平行四邊形的判定推出即可。
（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可。

分析：（1）根據平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，（或用全等）根據平行四邊形的判定推出即可。
（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可。
解：（1）以①②作為條件構成的命題是真命題，證明如下：
∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD。∴。
∵AO=OC，∴OB=OD。
∴四邊形ABCD是平行四邊形。
（2）ⅰ）根據①③作為條件構成的命題是假命題，即：如果有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形時平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；
ⅱ）根據②③作為條件構成的命題是假命題，即：如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形時平行四邊形，如圖，根據已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形。