Question

【題目】如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點A（3，6）．

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；

（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數分別是1個、2個？

Answer 1

【答案】（1）y=2x，OA=，

（2）是一個定值，，

（3）當時，E點只有1個，當時，E點有2個。

【解析】（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=．

（2）是一個定值，理由如下：

如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H．

①當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，

此時；

②當QH與QM不重合時，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得．①①

如答圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC=OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=，

∴點F（，0），

設點B（x，），

過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF，

∴，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴點B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5

（求AB也可采用下面的方法）

設直線AF為y=kx+b（k≠0）把點A（3，6），點F（，0）代入得

k=，b=10，

∴，

∴，

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5

在△ABE與△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.

設OE=x，則AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得，

∴

∴（）

∴頂點為（，）

如答圖3，

當時，OE=x=，此時E點有1個；

當時，任取一個m的值都對應著兩個x值，此時E點有2個．

∴當時，E點只有1個

當時，E點有2個