Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，經過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是（ ）
A.4.75
B.4.8
C.5
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：線段PQ長度的最小值時，PQ為圓的直徑， 如圖，設QP的中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD、CF、CD，

∵圓F與AB相切，
∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ為圓F的直徑，
∵當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD有最小值，即CD為圓F的直徑，
且S△ABC= BCCA= CDAB，
∴CD=4.8．
故選B．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的逆定理和切線的性質定理，需要了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．