Question

【題目】將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，是坐標原點，點坐標為，點坐標為，，點是邊上一點(點不與點，點重合)，沿折疊該紙片，點的對應點為點，連接．

（1）如圖1，當點在第一象限，且時，求點的坐標；

（2）如圖2，當點為的中點時；

①求證：；

②直接寫出四邊形的面積；

（3）當時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3）點的坐標（，）或（，）．

【解析】

（1）由點A和B的坐標得出OA=，OB=2，由折疊的性質得：OA'=OA=，由勾股定理求出A'B=，即可得出點A'的坐標為（，2）；

（2）①由直角三角形斜邊上的中線得∠1=∠2=30゜，由折疊得∠3=∠4=30゜，故可得，從而可得結論；

②由折疊得，根據直角三角形中30゜角對的直角邊等于斜邊的一半得，進一步可求出四邊形的面積；

（3）分兩種情況：①易得∠APA'=150°，連接AA′，延長OP交AA′于E，則∠APE=75°，∠OPB=75°，求出AB=，則∠BAO=30°，∠OBA=60°，推出∠BA′P=30°，∠OPA′=105°，得出∠A′OP=45°，則點A'在y軸上，∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出點P在∠AOB的平分線上，由待定系數法求出直線AB的解析式為y=-x+2，即可得出點P的坐標；

②由折疊的性質得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四邊形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性質求出PM=PA=，把y=代入y=-x+1求出點P的縱坐標即可．

(1)解: ∴，，

∴，.

∵折疊得到，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴.

（2）①證明:如圖，在中，，

為的中點，即為中線，

∴，

∴，

∴.

又∵ 折疊得到，

∴，，

∵，

∴.

∴.

∴，

∴，

∴，

∴.

②過點作軸，

在Rt△ABO中，OA=，OB=2，

∴AB=，

∵P是AB的中點，

∴AP=BP=2，OP=AB=2，

∴OB=OP=BP

∴

∴，

∵OB∥PA'，

∴四邊形OPA'B是平行四邊形，

由①得，

∴

∴四邊形OPA'B的面積為；

（3）設P（x，y），分兩種情況：

①∵∠BPA'=30°，

∴∠APA'=150°，

連接AA′，延長OP交AA′于E，如圖③所示：

則∠APE=75°，

∴∠OPB=75°，

∵OA=，OB=1，

∴AB==4，

∵∠OBA=60°，

∴

∴

∵∠BPA'=30°，

∴∠OPA′=105°，

∴∠A′OP=180°-30°-105°=45°，

∴點A'在y軸上，

∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，

∴點P在∠AOB的平分線上，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把點A(，0)，點B（0，1）代入得：

，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=-x+2，

∵點P在∠AOB的一部分線上

∴P（x，x），

∴x=-x+2，

解得：x=，

∴P（，）；

②如圖④所示：

由折疊的性質得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，

∵∠BPA'=30°，

∴∠A'=∠A=∠BPA'，

∴OA'∥AP，PA'∥OA，

∴四邊形OAPA'是菱形，

∴PA=OA=，

作PM⊥OA于M，如圖④所示：

∵∠A=30°，

∴PM=PA=，

把y=代入y=-x+2得：=-x+2，

解得：x=，

∴P（，）；

綜上所述：當∠BPA'=30°時，點P的坐標為（，）或（，）．