Question

【題目】已知：為⊙的直徑，，弦，直線與相交于點，弦在⊙上運動且保持長度不變，⊙的切線交于點.

（1）如圖1，若，求證：；

（2）如圖2，當點運動至與點重合時，試判斷與是否相等，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）相等

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接OD、OE，證得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等邊三角形，進一步證得DF⊥CE即可證得結論；

（2）根據切線的性質以及等腰三角形的性質即可證得結論．

試題解析：（1）如圖1，連接OD、OE，

∵AB=2，

∴OA=OD=OE=OB=1，

∵DE=1，

∴OD=OE=DE，

∴△ODE是等邊三角形，

∴∠ODE=∠OED=60°，

∵DE∥AB，

∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，

∴△AOD和△△OE是等邊三角形，

∴∠OAD=∠OBE=60°，

∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∵DF是⊙O的切線，

∴OD⊥DF，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DFE=90°，

∴DF⊥CE，

∴CF=EF；

（2）相等；

如圖2，點E運動至與點B重合時，BC是⊙O的切線，

∵⊙O的切線DF交BC于點F，

∴BF=DF，

∴∠BDF=∠DBF，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴∠FDC=∠C，

∴DF=CF，

∴BF=CF．