Question

【題目】如圖，梯形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、B、C的坐標分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點P、Q同時從原點出發，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．設P從出發起運動了t秒．

（1）如果點Q的速度為每秒2個單位，①試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標（用含t的代數式表示，不要求寫出t的取值范圍）；

②求t為何值時，PQ∥OC？

（2）如果點P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，①試用含t的代數式表示這時點Q所經過的路程和它的速度；

②試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？如有可能，求出相應的t的值和P、Q的坐標；如不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①點Q在OC上時Q（t，t），點Q在CB上時Q（2t﹣1，3）；②t=5；（2）①v=，點Q所經過的路程為（16﹣t）；②直線PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．

【解析】

試題分析：（1）①根據相似三角形的性質即可求得點Q在OC上時的坐標；根據路程即可求得點Q在CB上時的橫坐標是（2t﹣5），縱坐標和點C的縱坐標一致，是3；

②顯然此時Q在CB上，由平行四邊形的知識可得，只需根據OP=CQ列方程求解；

（2）①設Q的速度為v，根據P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，即可建立函數關系式；

②顯然Q應在CB上，根據面積和①中的結論得到關于t的方程，進行求解．

試題解析：（1）①點Q在OC上時Q（t，t），點Q在CB上時Q（2t﹣1，3）．

②顯然Q在CB上，由平行四邊形的知識可得，只須OP=CQ．所以2t﹣5=t得t=5．

（2）①設Q的速度為v，先求梯形的周長為32，可得t+vt=16，所以v=，點Q所經過的路程為（16﹣t）；

②當Q在OC上時，做QM⊥OA，垂足為M，則QM=（16﹣t）×，∴S△OPQ=×（16﹣t）t=t（16﹣t）=S梯形OABC，則令t（16﹣t）=18，解得t1=10，t2=6，當t1=10時，16﹣x=6，此時點Q不在OC上，舍去；當t2=6時，16﹣x=10，此時點Q也不在OC上，舍去；∴當Q點在OC上時，PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．

當Q點在CB上時，CQ=16﹣t﹣5=11﹣x，∴S梯形OPQC=×（11﹣x+x）×3=≠18，∴當Q點在CB上時，PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．

綜上所述，直線PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．