Question

【題目】平面直角坐標系中，，分別在軸正半軸和軸負半軸上，在第二象限，滿足：，.已知.

（1）求,的坐標；

（2）求點的坐標及的面積；

（3）已知是軸的正半軸上一點，，在第一象限，，，連接交軸于點.

①求證：.

②在點的移動過程中，給出以下兩個結論：（i）的值不變；（ii）的值不變，其中有且只有一個是正確的，請你找出這個結論并求其值.

Answer 1

【答案】（1）A(0,4)，B(-2,0)；

(2)C(-4,6)；10.

(3)①見詳解；②的值不變，等于.

【解析】

（1）根據非負數的性質，即可求出結果;

（2）如圖，過點C作CF⊥y軸于F，先證△ACF≌△BAO，從而得到CF=OA，AF=OB，又因為點C在第四象限，故可得點C的坐標，根據勾股定理求得AC=AB=2，再根三角形的面積計算公式即可求得△ABC的面積；

（3）①過點E作EG⊥y軸于點G，先證△AGE≌△DOA，得到GE=OA=4，故GE=CF，再根據AAS證得△GPE≌△FOC，從而得到PC=PE；②利用面積法進行等量代換即可得到=.

解：（1）∵，

∴,解得：.

∴A(0,4)，B(-2,0).

(2)過點C作CF⊥y軸于F，

∴∠CFA=∠AOB=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°.

∵,

∴∠CAF+∠BAO=90°.

∴∠ACF=∠BAO

在△ACF和△BAO中

∴△ACF≌△BAO.

∴CF=OA=4,AF=OB=2

∵點C在第二象限，

∴C(-4,6).

在Rt△ABO中，

AB===2.

∵∠BAC=90°，AC=AB=2.

∴=AC==10.

(3)①過點E作EG⊥y軸于G，

∵∠EAD=90°，

∴∠DAO+∠GAE=90°.

∵∠AEG+∠GAE=90°,

∴∠DAO=∠AEG.

在△AOD和△EGA中

∴△AOD≌△EGA.

∴GE=OA=4.

∵CF=OA,

∴CF=GE.

∵CF⊥y軸,EG⊥y軸,

∴∠PGE=∠PFC=90°.

在△FPC和△GPE中

∴△FPC≌△GPE.

∴PC=PE.

②的值不變，理由如下：

∵PC=PE,

∴==.

∴=

∵△ACF≌△BAO,

∴=.

∵△AOD≌△EGA.

∴=

∵=+

∴=+

∵=+

∴=++

=++

=.

∴==.