Question

【題目】如圖，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB＝4，點B的坐標為（－1，0），點C在y軸的正半軸．若拋物線的圖象經過點A，B，C．

（Ⅰ）求y關于x的函數解析式；

（Ⅱ）設對稱軸與拋物線交于點E，與AC交于點D。在對稱軸上，是否存在點P，使以點P、C、D為頂點的三角形與ΔADE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

（Ⅲ）若在對稱軸上有兩個動點P和Q（點P在點Q的上方），且PQ=，請求出使四邊形BCPQ周長最小的點P的坐標．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) y=（Ⅱ）（1，-）；（1，） （Ⅲ）P（1，）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 根據拋物線的對稱性確定出點A（3,0），設y=a(x+1)(x-3)，利用相似三角形求出線段OC=,得出C（0，），然后把點C的坐標代入函數解析式求出a的值即可，（Ⅱ）求出點E、D的坐標，然后分①當點P在D下方，②當點P在D下方，兩種情況討論，利用相似三角形的性質可分別確定出點P的坐標；（Ⅲ）確定點C關于對稱軸x=1的對稱點C’（2，），過點B作BF⊥x軸，求出直線直線FC’的解析式，令x=1，可求出滿足條件的點P的坐標.

試題解析：(Ⅰ)∵AB=4,B(-1,0)， ∴OA=3，點A（3,0）

易算得OC=,∴C（0，）

設y=a(x+1)(x-3)，把點C的坐標代入函數解析式，得a=

∴y=

(Ⅱ)由y=得拋物線的對稱軸為直線x=1.

當x=1時，y=,∴E(1, )

設直線AC的解析式為y=kx+b,由A（3,0），C（0，）

求得y=

當x=1時，y=,∴D(1, ),則DE=

設對稱軸交x軸于H點，則DH=.

在直角三角形ACO和ADP中，易求得AC=2,AD=,∴DC=.

①當點P在D下方，且DP=DA=時，ΔPDC≌ΔADE。

此時，點P的坐標為（1，-）

②當點P在D下方，且時，ΔCDP∽ΔADE，解得DP=.

此時，點P的坐標為（1，）

（Ⅲ）作點C關于對稱軸x=1的對稱點C’，則C’（2，）。

過點B作BF⊥x軸，使BF=PQ=，則F（-1，）,

連結FC’，交對稱軸于點P。點P就為所求的點。

設直線FC’的解析式為y=mx+n。

將點C’（2，）和F（-1，）代入y=mx+n得m=

∴y=。

當x=1時，y=, 即P（1，）