Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AC于D．E為的中點，連接CE，BE，BE交AC于F．

（1）求證：AB＝AF；

（2）若AB＝3，BC＝4，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先證明∠EBC＝∠ECF， 再證明∠ABF＝∠AFB，即可得AB＝AF；

（2）先應用勾股定理求出AC的長，用AC－AF求出CF的長，再應用△EFC∽△ECB可求出CE的長．

試題解析：解：（1）證明：∵BC直徑為⊙O的直徑，∴∠BEC＝90°，∴∠ECF＋∠EFC＝90°．

∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠EBC＝90°．又∵E為的中點，∴∠EBC＝∠ECF，∴∠EFC＝∠ABF．又∵∠AFB＝∠EFC，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF；

（2）∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5．又∵AB＝AF＝3，∴CF＝AC－AF＝5－3＝2．∵∠EBC＝∠ECF，∠E＝∠E，∴△EFC∽△ECB．∴.∴BE＝2CE．∵∠BEC＝90°，∴，∴，∴CE＝.