Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D，E分別在AC，BC上，且CD＝CE．

（1）如圖1，求證：∠CAE＝∠CBD．

（2）如圖2，F是BD的中點，求證：AE⊥CF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據SAS直接判斷出△ACE≌△BCD即可得出結論；

（2）先判斷出∠BCF=∠CBF，進而得出∠BCF=∠CAE，即可得出結論．

證明：（1）在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠CAE＝∠CBD；

（2）如圖2，記AE與CF的交點為M，

在Rt△BCD中，點F是BD的中點，

∴CF＝BF，

∴∠BCF＝∠CBF，

由（1）知，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BCF＝∠CAE，

∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，

∴∠AMC＝90°，

∴AE⊥CF．