Question

請嘗試解決以下問題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G，B，F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠

FAE

．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌

△EAF

．
∴

GF

=EF，故DE+BF=EF．
（2）運用（1）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一點，且∠BAE=45°，DE=4，求BE的長．
（3）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉過程中，等式BD²+CE²=DE²始終成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）過A作AG⊥BC，交BC延長線于G，由正方形的性質得出CG=AD=10，再運用勾股定理和方程求出BE的長；
（3）運用旋轉性質和勾股定理判斷說明等式成立．

解答：解：（1）根據等量代換得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案為：FAE；△EAF；GF；   
                                          
（2）過A作AG⊥BC，交CB延長線于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C=∠D=90°，
又∠CGA=90°，AD=CD，
∴四邊形AGCD為正方形．                                              
∴CG=AD=10．
已知∠BAE=45°，
根據（1）可知，BE=GB+DE．
設BE=x，則BG=x-4，
∴BC=14-x．
在Rt△BCE中，∵BE²=BC²+CE²，即x²=（14-x）²+6²．          
解這個方程，得：x=

58

7

．
∴BE=

58

7

；

（3）證明：如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置，
則CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE，
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²，
即BD²+CE²=DE²…（11分）

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及折疊的性質和旋轉變換性質等知識，根據題意作出與已知相等的角，利用三角形全等是解決問題的關鍵．