Question

【題目】如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，M是BC延長線上一點，連接AM交⊙O于點D，延長BD至點N，使得BN=AM，連接CN，MN．
（1）判斷△CMN的形狀，并證明你的結論；
（2）求證：CN是⊙O的切線；
（3）若等邊△ABC的邊長是2，求ADAM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△CMN為等邊三角形．理由如下：

∵△ABC為等邊三角形，

∴CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，

在△BCN和△ACM中

，

∴△BCN≌△ACM，

∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，

∴∠ACB+∠ACN=∠ACN+∠MCN，

∴∠MCN=∠ACB=60°，

∴△CMN為等邊三角形

（2）證明：連接OC，如圖，

∵CA=CB，

∴ = ，

∴OC⊥AB，

∵∠ABC=∠MCN=60°，

∴AB∥CN，

∴OC⊥CN，

∴CN是⊙O的切線

（3）解：連接CD，如圖，

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ACM+∠ACB=180°，

而∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ADC=∠ACM，

而∠DAC=∠CAM，

∴△ACD∽△AMC，

∴AC：AD=AM：AC，

∴ADAM=AC2，

∵等邊△ABC的邊長是2，

∴AC=2，

∴ADDM=4．

【解析】（1）利用等邊三角形的性質得到CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，再證明△BCN≌△ACM得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，則∠MCN=∠ACB=60°，于是可判斷△CMN為等邊三角形；（2）連接OC，如圖，利用CA=CB得到 = ，則根據垂徑定理的推論得到OC⊥AB，再證明AB∥CN，則OC⊥CN，然后根據切線的判定方法可判斷CN是⊙O的切線；（3）連接CD，如圖，證明△ACD∽△AMC，利用相似比得到ADAM=AC2 ， 然后利用等邊△ABC的邊長是2可得到ADDM的值．