Question

【題目】如圖，經過點A（0，﹣4）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣1，0）和C，O為坐標原點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y= x2+bx+c向上平移 個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；
（3）將x軸下方的拋物線圖象關于x軸對稱，得到新的函數圖象C，若直線y=x+k與圖象C始終有3個交點，求滿足條件的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵經過點A（0，﹣4）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣1，0），

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：由（1）知，拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣4= （x2﹣7x）﹣4= （x﹣ ）2﹣ ，

∴此拋物線向上平移 個單位長度的拋物線的解析式為y= （x﹣ ）2﹣ ，

再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線y= （x+m﹣ ）2﹣ ，

∴拋物線的頂點P（﹣m+ ，﹣ ），

對于拋物線y= x2﹣ x﹣4，令y=0， x2﹣ x﹣4=0，解得x=﹣1或8，

∴B（8，0），∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴直線AB的解析式為y=﹣4x﹣4，直線AC的解析式為y= x﹣4，

當頂點P在AB上時，﹣ =﹣4×（﹣m+ ）﹣4，解得m= ，

當頂點P在AC上時，﹣ = （﹣m+ ）﹣4，解得m= ，

∴當點P在△ABC內時 ＜m＜

（3）

解：翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+k知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．

①當直線位于l1時，此時l1過點B（﹣1，0），

∴0=﹣1+k，即k=1．

②∵當直線位于l2時，此時l2與函數y=﹣ x2+ x+4（﹣1≤x≤8）的圖象有一個公共點

∴方程x+k=﹣ x2+ x+4，即x2﹣5x﹣8+2k=0有兩個相等實根．

∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k= ．

綜上所述，k的值為1或

【解析】（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數，只需將A、B兩點坐標代入即可得解．（2）首先根據平移條件表示出移動后的函數解析式，進而用m表示出該函數的頂點坐標，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內時m的取值范圍．（3）先根據函數解析式畫出圖形，然后結合圖形找出拋物線與x軸有三個交點的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．