Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）設△APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；′
（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖甲，過點P作PH⊥AC于H，

∵∠C=90°，

∴AC⊥BC，

∴PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴ ，

∵AC=4cm，BC=3cm，

∴AB=5cm，

∴ = ，

∴PH=3﹣ t，

∴△AQP的面積為：

S= ×AQ×PH= ×t×（3﹣ t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當t為 秒時，S最大值為 cm2

（2）

解：如圖乙，連接PP′，PP′交QC于E，

當四邊形PQP′C為菱形時，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，

∴△APE∽△ABC，

∴ = ，

∴AE= = =﹣ t+4

QE=AE﹣AQ═﹣ t+4﹣t=﹣ t+4，

QE= QC= （4﹣t）=﹣ t+2，

∴﹣ t+4=﹣ t+2，

解得：t= ，

∵0＜ ＜4，

∴當四邊形PQP′C為菱形時，t的值是 s

（3）

解：由（1）知，

PE=﹣ t+3，與（2）同理得：QE=AE﹣AQ=﹣ t+4

∴PQ= = = ，

在△APQ中，

① 當AQ=AP，即t=5﹣t時，解得：t1= ；

②當PQ=AQ，即 =t時，解得：t2= ，t3=5；

③當PQ=AP，即 =5﹣t時，解得：t4=0，t5= ；

∵0＜t＜4，

∴t3=5，t4=0不合題意，舍去，

∴當t為 s或 s或 s時，△APQ是等腰三角形

【解析】（1）過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出 = ，從而求出AB，再根據 = ，得出PH=3﹣ t，則△AQP的面積為： AQPH= t（3﹣ t），最后進行整理即可得出答案；（2）連接PP′交QC于E，當四邊形PQP′C為菱形時，得出△APE∽△ABC， = ，求出AE=﹣ t+4，再根據QE=AE﹣AQ，QE= QC得出﹣ t+4=﹣ t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PE=﹣ t+3，與（2）同理得：QE=﹣ t+4，從而求出PQ= ，
在△APQ中，分三種情況討論：①當AQ=AP，即t=5﹣t，②當PQ=AQ，即 =t，③當PQ=AP，即 =5﹣t，再分別計算即可．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．