Question

【題目】如圖，二次函數（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．若以BD為直徑的⊙M經過點C．

（1）請直接寫出C，D的坐標（用含a的代數式表示）；

（2）求拋物線的函數表達式；

（3）⊙M上是否存在點E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，請求出所滿足的條件的E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標為（0，﹣3a），D的坐標為（1，﹣4a）；（2）；（3）（4，1）、（，）．

【解析】

試題分析：（1）計算橫坐標為0的函數值即可得到C點坐標，然后將解析式配成頂點式即可得出點D的坐標；

（2）先利用二次函數與x軸的交點問題確定A點和B點坐標，再根據圓周角定理得到∠BCD=90°，則根據兩點間的距離公式表示出BC，CD，BD，接著利用勾股定理建立方程，然后解方程求出a即可得到二次函數解析式；

（3）先計算出，，再根據圓周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，則CD=BE，接著證明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，設E（x，y），根據兩點間的距離公式得，，然后解方程組得x=4，y=1或x=，y=，從而可得滿足條件的E點坐標．

試題解析：（1）當x=0時，=﹣3a，則點C的坐標為（0，﹣3a）；

∵=，∴點D的坐標為（1，﹣4a）；

（2）當y=0時，，解得，，則A（﹣1，0），B（3，0），∵BD為⊙M的直徑，∴∠BCD=90°，而=，==，==，在Rt△BCD中，∵，∴，整理得，解得a=﹣1或a=1（舍去）；∴拋物線解析式為：；

（3）存在．a=1，，，∵∠EDB=∠CBD，∴CD=BE，而BD為直徑，∴∠BED=90°，∴Rt△BED≌Rt△DCB，∴DE=BC，設E（x，y），∴=，=，∴，，解得x=4，y=1或x=，y=，∴滿足條件的E點坐標為（4，1）、（，）．