Question

【題目】一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為30厘米的正方形，再四周折起，做成一個有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長是4a（cm），寬是3a（cm），這個無蓋鐵盒各個面的面積之和稱為鐵盒的全面積．
（1）請用a的代數式表示圖1中原長方形鐵皮的面積；
（2）若要在鐵盒的各個外表面漆上某種油漆，每元錢可漆的面積為（cm2），則油漆這個鐵盒需要多少錢（用a的代數式表示）？
（3）鐵盒的底面積是全面積的幾分之幾（用a的代數式表示）？若鐵盒的底面積是全面積的 ， 求a的值；
（4）是否存在一個正整數a，使得鐵盒的全面積是底面積的正整數倍？若存在，請求出這個a，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）原鐵皮的面積是（4a+60）（3a+60）=12a2+420a+3600；
（2）油漆這個鐵盒的表面積是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a，
則油漆這個鐵盒需要的錢數是：（12a2+420a）÷=（12a2+420a）×=600a+21000（元）；
（3）鐵盒的底面積是全面積的=；
根據題意得：=，
解得a=105；
（4）鐵盒的全面積是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a，
底面積是12a2 ，
假設存在正整數n，使12a2+420a=n（12a2）
則（n﹣1）a=35，
由題意可知a＞＞10，
則a只能為35，n=2．
所以存在鐵盒的全面積是底面積的正整數倍，這時a=35．
【解析】（1）根據圖形表示出原長方形鐵皮的面積即可；
（2）根據原長方形鐵皮的面積剪去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，乘以單價即可得到結果；
（3）用鐵盒的底面積除以全面積即可得出底面積是全面積的幾分之幾，再根據鐵盒的底面積是全面積的 ， 求出a的值即可；
（4）假設存在，列出鐵盒的全面積和底面積的公式，求整數倍數即可．