Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD對角線BD上一點，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分別是求M、N

（1）求證：AE=MN；
（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接EC．

∵四邊形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，

∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，

∴四邊形EMCN為矩形．

∴MN=CE．

又∵BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中

∵ ，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE=EC．

∴AE=MN．

（2）

解：過點E作EF⊥AD于點F，

∵AE=2，∠DAE=30°，

∴EF= AE=1，AF=AEcos30°=2× = ．

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠EDF=45°，

∴DF=EF=1，

∴AD=AF+DF= +1，即正方形的邊長為 +1．

【解析】（1）連接EC，根據題意可得出四邊形EMCN為矩形，故MN=CE，再由SAS定理得出△ABE≌△CBE，進而可得出結論；（2）過點E作EF⊥AD，由直角三角形的性質可得出EF及AF的長，再由等腰直角三角形的性質得出DF的長，進而可得出結論．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．