Question

【題目】如圖1，AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，規(guī)定：λA= ．特別地，當(dāng)點(diǎn)D、E重合時(shí)，規(guī)定：λA=0．另外，對(duì)λB、λC作類似的規(guī)定．

（1）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λA、λC；
（2）在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1的4×4的方格紙上，畫一個(gè)△ABC，使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)（格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，且λA=2，面積也為2；
（3）判斷下列三個(gè)命題的真假（真命題打“√”，假命題打“×”）：
①若△ABC中λA＜1，則△ABC為銳角三角形；
②若△ABC中λA=1，則△ABC為直角三角形；
③若△ABC中λA＞1，則△ABC為鈍角三角形． ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，

作BC邊上的中線AD，又AC⊥DC，

∴λA= =1，

過點(diǎn)C分別作AB邊上的高CE和中線CF，

∵∠ACB=90°，

∴AF=CF，

∴∠ACF=∠CAF=30°，

∴∠CFE=60°，

∴λC= =cos60°=

（2）

解：如圖：

（3）解：×；√；√
【解析】解： （3）①在第（1）題中，λC= ，而△ABC是直角三角形，故命題錯(cuò)誤；②λA=1時(shí)，過頂點(diǎn)A的高線的垂足與三角形的頂點(diǎn)一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命題正確；③λA＞1時(shí)，過頂點(diǎn)A的高線的垂足與三角形的頂點(diǎn)一定在邊的延長(zhǎng)線上，則三角形一定是鈍角三角形，故命題正確．
所以答案是：①×，②√，③√．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形的“三線”和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，是三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．