Question

【題目】（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠A=50°，求∠1+∠2的度數，猜想并直接寫出∠1+∠2與∠A的數量關系．（不必證明）

（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點A與點I重合，若∠1+∠2=110°，求∠BIC的度數；

（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點F，CG⊥AB于點G，BF、CG交于點H，把△ABC折疊使點A和點H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）100°,∠1+∠2=2∠A；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），證明見解析.

【解析】

(1)根據翻折變換的性質以及三角形內角和定理以及平角的定義求出即可；

(2)根據三角形角平分線的性質得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度數即可；

(3)根據翻折變換的性質以及垂線的性質得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，進而求出∠A=(∠1+∠2)，即可得出答案．

(1)∠1+∠2=2∠A；

理由：根據翻折的性質，∠ADE=(180°-∠1)，∠AED=(180°-∠2)，

∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴∠A+(180-∠1)+(180-∠2)=180°，

整理得2∠A=∠1+∠2，

∵∠A=50°，

∴∠1+∠2＝100°，

猜想：∠1+∠2=2∠A；

(2)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，∴∠A=55°，

∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-∠A)=90°+×55°=117.5°；

(3)∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，

∴∠FHG+∠A=360°-180°=180°，

∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，

由(1)知∠1+∠2=2∠A，

∴∠A=(∠1+∠2)，

∴∠BHC=180°-(∠1+∠2)．