Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是⊙O 外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OP于點(diǎn)D．

（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若PD=cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接CE，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）參見(jiàn)解析；（2）；（3）cm．

【解析】

（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PAO=∠PCO=90 ，證明結(jié)論；

（2）證明△ADO∽△PDA，得到成比例線(xiàn)段求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)S陰=S半⊙O－S△ACB求出答案；

（3）連接AE，BE，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE于點(diǎn)M，分別求出CM和EM的長(zhǎng)，求和得到答案．

證明： ⑴如圖，連接OC，

∵PA切⊙O于A．

∴∠PAO=90．

∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB．

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠AOP=∠COP．

又∵OA=OC，OP=OP，

∴△PAO≌△PCO (SAS)．

∴∠PAO=∠PCO=90 ，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線(xiàn)．

⑵解法一：

由（1）得PA，PC都為圓的切線(xiàn)，

∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90 ，

∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，

∴∠PAD =∠AOD，

∴△ADO∽△PDA．

∴，

∴，

∵AC=8， PD=，

∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，

由題意知OD為△ABC的中位線(xiàn)，

∴BC=2OD=6，AB=10．

∴S陰=S半⊙O－S△ACB=．

答：陰影部分的面積為．

解法二：

∵AB是⊙O的直徑，OP∥BC，

∴∠PDC=∠ACB=90．

∵∠PCO=90 ，

∴∠PCD+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90 ，

即∠PCD=∠OCB．

又∵∠OBC =∠OCB，

∴∠PCD=∠OBC，

∴△PDC∽△ACB，

∴．

又∵AC=8， PD=，

∴AD=DC=4，PC=．

∴，

∴CB=6，AB=10，

∴S陰=S半⊙O-S△ACB=．

答：陰影部分的面積為．

（3）如圖，連接AE，BE，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE于點(diǎn)M．

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90，

又∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45，CM=MB =，BE=ABcos45=，

∴ EM=，

∴CE=CM+EM= ．

“點(diǎn)睛”本題考查的是切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算和相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和切線(xiàn)的判定是解題的關(guān)鍵．