Question

【題目】直線y=x+b與雙曲線y=交于點A（﹣1，﹣5）．并分別與x軸、y軸交于點C、B．

（1）直接寫出b= ，m= ；

（2）根據圖象直接寫出不等式x+b＜的解集為 ；

（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形與△OAB相似？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、b=－4，m=5；（2）、x＜－1或0＜x＜5；（3）、（6,0）或（20,0）

【解析】

試題分析：（1）、把A的坐標分別代入一次函數與反比例函數的解析式，即可求得b和m的值；（2）、根據圖象即可直接寫出，即反比例函數的圖象在一次函數的圖象上部的部分x的取值；（3）、求得△OAB的邊長，點D在x軸的正半軸上，可以分D在線段OC上（不在O點）或線段OC的延長線上兩種情況討論，依據相似三角形的對應邊的比相等即可求得．

試題解析：（1）、把A（﹣1，﹣5）代入y=x+b得：﹣5=﹣1+b，解得：b=﹣4．

把A（﹣1，﹣5）代入y=，得：m=（﹣1）（﹣5）=5．

（2）、解集為：x＜﹣1或0＜x＜5，

（3）、OA=， 在y=x﹣4中，令x=0，解得y=﹣4，則B的坐標是（0，﹣4）．

令y=0，解得：x=4，則C的坐標是（4，0）． 故OB=4，AB==，BC=4，OC=4．

∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．

過A作AD⊥y軸于點D．則△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．

1）當D在線段OC（不與O重合）上時，兩個三角形一定不能相似；

2）當D在線段OC的延長線上時，設D的坐標是（x，0），則CD=x﹣4， ∠ABO=∠BCD=135°，

當△AOB∽△DBC時，，即， 解得：x=6， 則D的坐標是（6，0）；

當△AOB∽△BDC時，，即， 解得：x=20， 則D的坐標是（20，0）．

則D的坐標是（6，0）或（20，0）．