Question

【題目】（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖（1），等邊△ABC邊長為2，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長.

小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題.請根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長.

（2）（類比探究）

老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：

①等邊△ABC邊長為2，當(dāng)P為BA的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E ，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D.請你在圖（2）中補(bǔ)全圖形并求DE的長.

②已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥射線AC于點(diǎn)E， Q為哪一個(gè)（①BC邊上；②BC的延長線上；③CB的延長線上）一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，能使得DE的長度保持不變.( 直接寫出答案的編號)

Answer 1

【答案】（1）DE=1；(2) ①正確補(bǔ)全圖形見解析，② ②.

【解析】

（1）過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可；

（2）①過點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長線與點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出∠PFA=∠C．

再證明△APF為等邊三角形，得到AP=PF．進(jìn)一步得到AE=FE=．由SAS證明△FDP≌△CDQ，得到FD=CD=，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

②如圖，過P作直線PF∥BC交直線AC于F，通過證明△APF是等邊三角形，得到AP=PF．進(jìn)而得到EF=AE=AF．再由線段的和差即可得出結(jié)論．

（1）過P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．

∵PE⊥AC，∴AE=EF．

∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，∵，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．

∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．

∵AC=2，∴DE=1．

(2)①正確補(bǔ)全圖形．

過點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長線與點(diǎn)F，∴∠PFA=∠C．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴∠PFA=∠PAF=60°，∴△APF為等邊三角形，∴AP=PF．

又∵PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E，∴AE=FE=．

∵AP=CQ，∴PF=QC．

∵∠FDP=∠CDQ，∴△FDP≌△CDQ，∴FD=CD=，∴DE=DF﹣EF=．

② 答案為②．理由如下：

如圖，過P作直線PF∥BC交直線AC于F，∴∠APF=∠ABC=60°．

∵∠A=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF．

∵AP=CQ，∴PF=QC．

∵PF∥BC，∴∠F=∠DCQ，∠FPD=∠Q．

在△DPF和△DQC中，∵∠F=∠DCQ，PF=QC，∠FPD=∠Q，∴△DPF≌△DQC，∴CD=DF=CF．

∵△APF是等邊三角形，PE⊥AF，∴EF=AE=AF．

∵ED=EF﹣DF，∴ED=AF﹣CF=（AF﹣CF）=AC．

∵AC的長度不變，∴DE的長度保持不變．