Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，BO=CO．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限拋物線上的一動點，連接AP，交y軸于點D，連接CP，設P點橫坐標為t，△CDP的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點P作PE⊥x軸于點E，連接PB，過點A作AF⊥PB于點F，交線段PE于點G，若點H在x軸負半軸上，PH=2GE，點M（0，m）在y軸正半軸上，連接PM、PH，∠HPM=2∠BHP，PH=2PM，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）S =t2．（3）m=.

【解析】試題分析：（1）由ax2﹣2ax﹣3a=0時，解得x=3或﹣1，推出A（﹣1，0），B（3，0），推出OA=1，OB=3，推出OC=OB=3，推出﹣3a=3，可得a=﹣1，即可解決問題；

（2）如圖1中，作PE⊥x軸于E，PK⊥y軸于K．P（t，﹣t2+2t+3，由∠PAE=∠DAO，可得tan∠PAE=tan∠DAO，可得 ，即，可得OD=3﹣t，CD=3﹣OD=t，再根據S=PKCD=計算即可；

（3）首先證明△PKM≌△PKN，推出PM=PN，MK=NK，再證明△HON≌△PKN，推出PK=HO，由∠3=∠5，可得tan∠3=tan∠5，可得 ，BE=OB﹣OE=3﹣t，即，可得GE=1，推出OH=2EG=2，推出PK=2，PE=3，推出OK=3=OC，推出點K與點C重合，由此即可解決問題．

試題解析：（1）當ax2﹣2ax﹣3a=0時，解得x=3或﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3，∴OC=OB=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，

∴y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖1中，作PE⊥x軸于E，PK⊥y軸于K．

∵點P在第一象限，橫坐標為t，∴P（t，﹣t2+2t+3），

∵∠PKO=∠COB=∠PEO=90°，∴四邊形KPEO是矩形，∴PK=OE=t，PE=OK，

∴PE=﹣t2+2t+3，AE=t+1，

∵∠PAE=∠DAO，∴tan∠PAE=tan∠DAO，∴，∴，

∴OD=3﹣t，∴CD=3﹣OD=t，

∴S=PKCD=t2．

（3）設PH交y軸于點N．

∵∠PKO=∠PKM=∠HON=90°，∴PK∥x軸，∴∠1=∠PHB，

∵∠MPH=2∠PHB，∴MPH=2∠1，即∠1=∠2，

∵∠PKM=∠PKN，PK=PK，∴△PKM≌△PKN，∴PM=PN，MK=NK，

∵PH=2PM，∴PN=HN，

∵∠HON=∠PKN，∠1=∠BHP，∴△HON≌△PKN，∴PK=HO，KN=ON，

∵AF⊥PB，∴∠AFB=90°，∴∠3+∠4=90°，

∵∠PEB=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴tan∠3=tan∠5，

∴，∵BE=OB﹣OE=3﹣t，∴，∴GE=1，

∴OH=2EG=2，∴PK=2，PE=3，∴OK=3=OC，∴點K與點C重合，∴KN=，

∴OM=3KN=，即m=.