Question

【題目】如圖，在△BCE中，點A時邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF．

（1）求證：CB是⊙O的切線；

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件易證△CDO≌△CBO，即可得∠CBO=∠CDO=90°，所以CB是⊙O的切線；（2）根據條件證明△ADG≌△FOG，可得S△ADG=S△FOG，再由S陰=S扇形ODF，利用扇形面積公式計算即可．

試題解析：（1）證明：連接OD，與AF相交于點G，

∵CE與⊙O相切于點D，

∴OD⊥CE，

∴∠CDO=90°，

∵AD∥OC，

∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠1=∠2，

在△CDO和△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CBO=∠CDO=90°，

∴CB是⊙O的切線．

（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，

∵∠ECB=60°，

∴∠3=∠ECB=30°，

∴∠1=∠2=60°，

∴∠4=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，

在△ADG和△FOG中，

，

∴△ADG≌△FOG，

∴S△ADG=S△FOG，

∵AB=6，

∴⊙O的半徑r=3，

∴S陰=S扇形ODF==．