Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=. 動點O在AC上，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E，連結CD.

小題1:如圖1，當直線CD與⊙O相切時，請你判斷線段CD與AD的數量關系，并證明你的結論；
小題2:如圖2，當∠ACD=15°時，求AD的長

Answer 1

小題1:CD=AD       ……1分
證明：如圖1，連結OD．

∵直線CD與⊙O相切．∴∠COD＝90°，……2分
又∵OD＝OA，   ∴ ∠A=∠ADO＝30°．
∴ ∠COD=60°．∴ ∠ACD=30°．  ……3分
∴CD=AD，…………4分
小題2:如圖2，過點C作CF⊥AB于點F．

∵∠A＝30°，BC=，∴AB=．   ……5分
∵∠ACD＝15°，∴∠BCD＝75°，∠BDC＝45°．……6分
在Rt△BCF中，可求BF=，CF=．    
在Rt△CDF中，可求DF＝．       ……7分
∴AD＝AB－BF-FD＝－－＝ (－3)．……8分

（1）直線CD與⊙O相切，連接OD，可得∠CDO=90°，則CD=BD．
（2）過點C作CF⊥AB于點F，根據已知條件，可求出在三角形ABC中，AB=4．又∠BDC=45°，所以△DCF為等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法進行求解