Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA＝2，OB＝3，現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．

(1)求點C、D的坐標及四邊形ABDC的面積；

(2)若點Q在線的CD上移動(不包括C，D兩點)．QO與線段AB，CD所成的角∠1與∠2如圖所示，給出下列兩個結論：①∠1+∠2的值不變；②的值不變，其中只有一個結論是正確的，請你找出這個結論，并求出這個值．

(3)在y軸正半軸上是否存在點P，使得S△CDP＝S△PBO？如果有，試求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)C(0，2)、D(5，2)；S四邊形ABDC=10；(2)∠1+∠2＝180°；證明見解析；(3)存在，點P的坐標為(0，)或(0，5)．

【解析】

（1）依據平移與坐標變化的規律可求的點C、D的坐標，由點的坐標可求得AB、OC的長，從而可求得四邊形ABDC的面積；

（2）依據平行的性質可證明∠1+∠2＝180°；

（3）設點P的坐標（0，a），然后依據三角形的面積公式列方程求解即可．

(1)OA＝2，OB＝3，

∴A(﹣2，0)、B(3，0)．

∵將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴C(0，2)、D(5，2)．

∵由平移的性質可知：AB∥CD，AB＝CD，

∴ABCD為平行四邊形．

∴四邊形ABDC的面積＝ABOC＝5×2＝10．

(2)∠1+∠2＝180°．

證明：如圖1所示；

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3．

∵∠3+∠2＝180°．

∴∠1+∠2＝180°．

∴∠1+∠2為定值．

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠1．

∴＝＝﹣1．

∵當點Q在CD上運動時，∠1的度數在不斷變化，

∴﹣1在不斷變化，即的值在不斷變化；

(3)如圖2所示：設點P的坐標為(0，a)，則PC＝(2﹣a)，PO＝a．

∵S△CDP＝S△PBO，

∴DCPC＝OBOP．

∴×5(2﹣a)＝×3×a．

∴10﹣5a＝3a

解得：a＝

如圖3所示：設點P的坐標為(0，a)，則PC＝a﹣2，PO＝a．

∵S△CDP＝S△PBO，

∴DCPC＝OBOP．

∴×5×(a﹣2)＝×3×a．

∴5a﹣10＝3a．

解得：a＝5．

綜上所述，點P的坐標為(0，)或(0，5)．