Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP.

（1）求證：直線CP是⊙O的切線；

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半徑及△ACP的周長.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析: （1）欲證明直線CP是的切線，只需證得CP⊥AC；
（2）利用正弦三角函數的定義求得 的直徑則 的半徑為

如圖，過點B作BD⊥AC于點D，構建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根據相似三角形的對應邊成比例求得線段；然后在Rt△BCD中,，利用勾股定理可以求得 所以利用平行線分線段成比例分別求得線段的長度．即可求出的周長．

試題解析：(1)證明：連接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵AC是的直徑，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP.

∵∠CAN+∠ACN=，

∴∠BCP+∠ACN=，

∴CP⊥AC,

∵OC是的半徑

∴CP是的切線；

(2)

∴AC=5，

∴的半徑為

如圖，過點B作BD⊥AC于點D.

由(1)得

在Rt△CAN中,

在△CAN和△CBD中，

∴△CAN∽△CBD，

∴BD=4.

在Rt△BCD中,

∴AD=ACCD=52=3，

∵BD∥CP，

∴△APC的周長是AC+PC+AP=20.