Question

【題目】在邊長為5的正方形ABCD中，點E，F分別是BC，DC邊上的兩個動點（不與點B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如圖1，當BE=2時，求FC的長；
（2）延長EF交正方形ABCD外角平分線CP于點P．
①依題意將圖2補全；
②小京通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有AE=PE．小京把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的三種想法：
想法1：在AB上截取AG=EC，連接EG，要證AE=PE，需證△AGE≌△ECP．
想法2：作點A關于BC的對稱點H，連接BH，CH，EH．要證AE=PE，需證△EHP為等腰三角形．
想法3：將線段BE繞點B順時針旋轉90°，得到線段BM，連接CM，EM，要證AE=PE，需證四邊形MCPE為平行四邊形．
請你參考上面的想法，幫助小京證明AE=PE．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解∵正方形ABCD的邊長為5，BE=2，

∴EC=3．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

∴△ABE∽△ECF，

∴ ，即 ，

∴FC=

（2）

解：①依題意補全圖形：

②證明：在AB上截取AG=EC，連接EG．

∵AB=BC，

∴GB=EB．

∵∠B=90°，

∴∠BGE=45°，

∴∠AGE=135°．

∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分線，

∴∠ECP=135°．

∴∠AGE=∠ECP．

在△AGE和△ECP中，

，

∴△AGE≌△ECP．

∴AE=PE．

【解析】（1）根據正方形的性質求出EC，證明△ABE∽△ECF，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；（2）①根據題意畫圖；②在AB上截取AG=EC，連接EG，證明△AGE≌△ECP，根據全等三角形的性質證明．
【考點精析】通過靈活運用全等三角形的性質和相似三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題．