Question

如圖，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

分析：易證得△AEF∽△ABC，而AH、AD是兩個三角形的對應高，EF、BC是對應邊，則AH：AD=EF：BC，由此得證；要轉化為函數的最值問題來求解；由AH=

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x，進而可得到HD（即FP）的表達式；已求得了矩形的長和寬，即可根據矩形的面積公式得到關于矩形EFPQ的面積和x的函數關系式，根據函數的性質即可得到矩形的最大面積及對應的x的值．

解答：解：∵四邊形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴AH：AD=EF：BC；
∵BC=10，高AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=

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x
∴EQ=HD=AD-AH=8-

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x，
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-

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x）=-

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x²+8x=-

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（x-5）²+20，
∵-

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＜0，
∴當x=5時，S_矩形EFPQ有最大值，最大值為20．

點評：本題主要考查了矩形、等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質及二次函數的應用等知識．