Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，△ABC與△DEC關于點C成中心對稱，連接AE、BD．
（1）線段AE、BD具有怎樣的位置關系和大小關系？說明你的理由．
（2）如果△ABC的面積為5cm2 ， 求四邊形ABDE的面積．
（3）當∠ACB為多少度時，四邊形ABDE為矩形？說明你的理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵△ABC與△DEC關于點C成中心對稱，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE與BD平行且相等；
（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE ，
∵△ABC的面積為5cm2 ，
∴四邊形ABDE的面積=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°時，四邊形ABDE為矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四邊形ABDE為矩形．
【解析】（1）根據中心對稱的性質可得AC=CD，BC=CE，然后根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形ABDE是平行四邊形，再根據平行四邊形的對邊互相平行且相等解答；
（2）根據平行四邊形的性質，對角線把四邊形分成面積相等的四個部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判斷出△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用中心對稱及中心對稱圖形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱；如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形．