Question

好學的小宸利用電腦作了如下的探索：
(1)如圖①，將邊長為2的等邊三角形復制若干個后向右平移，使一條邊在同一直線上．則△A₂C₁B₁的面積為   ；
(2)求△A₄C₃B₃的面積；
(3)在保持圖①中各三角形的邊OB₁＝B₁B₂＝B₂B₃＝B₃B₄＝2不變的前提下，小宸又作了如下探究：將頂點A₁、A₂、A₃、A₄向上平移至同一高度（如圖②），若OA₄＝OB₄，試判斷以OA₂、OA₃和OA₄為三邊能否構成三角形？若能，請判斷這個三角形的形狀；若不能，請說明理由．

Answer 1

(1);（2）.（3）這三邊能構成直角三角形.

試題分析：（1）分別過A₂、C₁作x軸的垂線，垂足分別為E、F，根據勾股定理求得相應線段的長度，由△A₂C₁B₁=S梯形A₁EFC₁-△C₁FB₁-△A₂EB₁可求得；
（2）分別計算△A₄B₃B₄、△A₄OB₄的面積，利用相似三角形即可求出△A₄C₃B₃的面積；
（3）根據勾股定理的逆定理即可判定三角形為直角三角形.
試題解析：(1);
(2)解得△A₄B₃B₄的面積為：
解得△A₄OB₄的面積為：
利用△OC₃B₃∽△OA₄B₄得：S四邊形C₃B₃B₄A₄:S△OA₄B₄=7:16
∴四邊形C₃B₃B₄A₄的面積為：
∴△A₄C₃B₃的面積為：.
（3）能.
設這些等腰三角形的高為h.
則：OA₂²=9+h²，
OA₃²=25+h²，
OA₄²=64
∵OA₄=OB₄
∴∠OA₄B=∠OB₄A₄=∠A₄B₃B₄
∴△OA₄B₄∽△A₄B₄B₃
∴
∴A₄B₄=4
∴h²=15
∴OA₂²+OA₃²=OA₄²
即這三邊能構成直角三角形.