Question

【題目】問題探究

（1）請在圖①的的邊上求作一點，使最短；

（2）如圖②，點為內部一點，且滿足．求證：點到點、、的距離之和最短，即最短；

問題解決

（3）如圖③，某高校有一塊邊長為400米的正方形草坪，現準備在草坪內放置一對石凳及垃圾箱在點處，使點到、、三點的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點？若存在，請作出點的位置，并求出這個最短距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）存在，作圖見解析；點到三點的距離之和最小值為米．

【解析】

（1）根據垂線段最短、利用尺規作圖作出點P；

（2）將繞點逆時針旋轉，得到，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，，，根據作圖可知和均為等邊三角形，連接，根據兩點之間線段最短可知，當時，短，

（3）以BC為邊作正△BCD，使點D與點A在BC兩側，作△BCD的外接圓，連接AD交圓于P，連接PB，作DE⊥AC交AC的延長線于E，根據勾股定理、直角三角形的性質計算，得到答案．

解：（1）如圖①，過點作的垂線，

垂足為，點記為所求；

（2）如圖②，將繞點逆時針旋轉，得到，

將繞點逆時針旋轉，得到，

連接，，，

根據作圖可知和均為等邊三角形，

∴，，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

連接，根據兩點之間線段最短可知，

當時，

最短，

∵，

∴，

又∵為等邊三角形，

∴四點共線，

∴，

∴當時，最短；

（3）存在符合條件的點．

如解圖③，以為作等邊，在作的外接圓，

連接，交于點，

此時最小，

在上截取．

∵在等邊中，

∴（同弧所對的圓周角相等）

∴為等邊三角形，

∴．

∴．

∴．

又∵，，

∴，

∴，

∴最小．

理由如下：

設點為正方形內任意一點，

連接，、，

將繞點順時針旋轉得到．

∵，

∴為的最短距離．

在中，，米，

∴（米），

（米），

∴（米）．

在中，

．

∴點到三點的距離之和最小值為米．