Question

【題目】綜合：
（1）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數量關系． 小亮同學認為：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數量關系．請你按照小亮的思路寫出推理過程．

（2）如圖2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的內接等邊三角形，請你找出S△ABE、S△ADF、S△CEF之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF．

（2）解：S△CEF=S△ABE+S△ADF，理由如下：

如圖，延長EB至G，使得BG=DF，連接AC，交EF于H，過E作EP⊥AG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABG=∠D，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴BE=DF，∠DAF=∠BAG，AG=AF，

∴CE=CF，

又∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形，

設EF=2，則EH=CH=1，AE=AG=2，

∴S△CEF= EF×CH=1，

∵∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣60°=30°，

∴PE= AE=1，

∴S△AGE= AG×PE=1，

∴S△CEF=S△AGE，

即S△CEF=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF．

【解析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數量關系．（2）延長EB至G，使得BG=DF，連接AC，交EF于H，過E作EP⊥AG，構造全等三角形，再求得S△CEF= EF×CH=1，S△AGE= AG×PE=1，即可得到S△CEF=S△AGE，即S△CEF=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF．
【考點精析】利用等邊三角形的性質和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．