Question

【題目】已知直線與軸相交于點A，與軸相交于點B．點C在軸上運動，作CD⊥AB，垂足為D．點E為軸上一動點，點E關于CD中點的中心對稱點為點F．設點C的坐標為(0，n)．

（1）用n表示線段CD的長；

（2）當OC＝1時，若點F落在直線y軸上，求此時點E的坐標；

（3）在點E的運動過程中，若存在唯一的位置，使得四邊形CEDF為矩形，請直接寫出點C的坐標

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）C的坐標為(0，0)或(0，)或(0，)或(0，)

【解析】

（1）先求出A，B坐標，然后表示出BC，OA，BA，再證明△BCD∽△BAO，得出，即可求出CD；

（2）先求出CD的解析式，然后聯立CD和AB的解析式得出D的坐標為，設CD的中點為G，得出G的坐標為（），然后根EF關于G對稱，且F在y軸，可求出答案；

（3）根據題意得要想讓四邊形CEDF為矩形，則有C，E，D，F四點共圓，可推出四種情況①點C與點O重合；②點C在線段OB上；③點D與點A重合；④點C在y負半軸上，且以CD為直徑的圓與x軸相切，分別討論即可．

解：（1）由題意可求出直線與軸相交于點A的坐標為（-3，0），與軸相交于點B的坐標為（0，4），

∵點C的坐標為(0，n)，

∴BC=4-n，OA=3，BA=5，

∵CD⊥AB，∠DBC=∠ABO，

∴△BCD∽△BAO，

∴，

∴，

∴；

（2）∵OC=1，

∴C（0，1），

∵CD⊥AB，

∴kCD·kAB=-1，

∵kAB=，

∴kCD=，

∴設CD的解析式為y=x+b，

將C代入得b=1，

∴CD的解析式為y=x+1，

聯立CD和AB的解析式得：，

解得：，

∴D的坐標為（），

設CD的中點為G，

∴G的坐標為（），

∵EF關于G對稱，且F在y軸，

∴xG-xE=0-xG，

xE=，

∴；

（3）要想讓四邊形CEDF為矩形，

根據矩形的性質可知這四點共圓，圓心為CD中點G，

如圖，可得出四種情況，

①點C與點O重合，此時C的坐標為(0，0)；

②點C在線段OB上，此時以CD為直徑的圓與x軸相切，

設CD的解析式為：y=x+n，

聯立CD和AB的解析式可得D的坐標為（），

∴點G的坐標為（），

∵以CD為直徑的圓與x軸相切，

∴GE⊥x軸，

∴點E的橫坐標與點G相同，

∴E的坐標為（，0），

∵CD=GE，

∴可得×=，

解得n=，

∴C的坐標為(0，)；

③點D與點A重合，

此時D的坐標為（-4，0），E的坐標為（0，0），

∵四邊形CEDF是矩形，

∴根據勾股定理可得=，

解得n=

∴C的坐標為：(0，)；

④點C在y負半軸上，且以CD為直徑的圓與x軸相切，

由②可得此時×=-，

解得n=，

∴C的坐標為：(0，)；

綜上，C的坐標為：(0，0)或(0，)或(0，)或(0，)．