Question

【題目】已知C是線段AB垂直平分線m上一動點，連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點D在直線AB的上方，連接DB與直線m交于點E，連接BC，AE．

(1)如圖1，點C在線段AB上．

①根據題意補全圖1；

②求證：∠EAC=∠EDC；

(2)如圖2，點C在直線AB的上方， 0°＜∠CAB＜30°，用等式表示線段BE，CE，DE之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)①補全圖形見解析；②證明見解析；(2)BE=CE+DE，證明見解析.

【解析】

（1）①根據題意補全圖形即可；②根據垂直平分線的性質可得EA＝EB，CA＝CB，根據等邊三角形的性質可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可證得∠EDC＝∠B；（2）如圖，在EB上截取EF，使EF=CE，連接CF．根據垂直平分線的性質以及等邊三角形的性質可推出∠EDC＝∠EAC，又因為∠1＝∠2，可得∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，進而可推出△CEF是等邊三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.

(1)①補全圖形如圖所示．

②∵直線m是AB的垂直平分線，

∴EA=EB，CA=CB．

∴∠EAC=∠B．

∵△ACD是等邊三角形，

∴CA=CD．

∴CD=CB．

∴∠EDC=∠B．

∴∠EAC=∠EDC．

(2)BE=CE+DE．

如圖，在EB上截取EF，使EF=CE，連接CF．

∵直線m是AB的垂直平分線，

∴EA=EB，CA=CB．

∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．

∴∠EAC=∠EBC．

∵△ACD是等邊三角形，

∴CA=CD，∠ACD=60°．

∴CD=CB．

∴∠EDC=∠EBC．

∴∠EDC=∠EAC．

∵∠1=∠2，

∴∠DEA=∠ACD=60°．

∴∠AEB=120°．

∵EA=EB，m⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=60°．

∴△CEF是等邊三角形．

∴∠CEF=∠CFE=60°．

∴△CDF≌△CBE．

∴DF=BE．

∴BE=CE+DE．