Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線EF分別交BA、DC的延長線于點E、F，且AE=CF，連接DE、BF．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．

①當AE與AB的數量關系為___________時，四邊形BEDF是矩形；

②當AE與AB的數量關系為___________時，四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AB=AE；②AB=3AE．

【解析】

試題分析：（1）證明：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BA∥DC，BO=DO，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（SAS）；

（2）解：①當AB=AE時，四邊形BEDF是矩形；理由：∵△AOE≌△COF，∴EO=FO，又∵BO=DO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵AB⊥AC，AB=AE，∴BO=EO，∴BD=EF，∴平行四邊形BEDF是矩形；故答案為：AB=AE；

②當AE與AB的數量關系為 3AE=AB時，四邊形BEDF是菱形，理由：∵∠ABD=30°，AB⊥AC，∴設AO=x，則AB=x，BO=2x，∵3AE=AB，∴AE=x，由AO=x，故EO=x，∵（x）2+（2x）2=（x+x）2，∴△BOE是直角三角形，即∠BOE=90°，∴平行四邊形BEDF是菱形．故答案為：AB=3AE．