Question

【題目】（1）問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為AB，BC，CD，DA邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EG，HF相交于點(diǎn)O，且∠HOE=∠ADC．試探究：EG與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）拓展延伸：如圖2，在菱形ABCD中，E、F、G、H分別為AB，BC，CD，DA邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EG，HF相交于點(diǎn)O，且∠HOE=∠ADC，試探究：（1）中EG與FH的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？并說明理由．

（3）反思提升：若將（2）中的菱形ABCD改為平行四邊形ABCD（如圖3），AB=a，AD=b，其他條件不變，則的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EG=FH,理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）正確，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，由正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)易得GM=HN，再利用四邊形的內(nèi)角和為360°，可得∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，易得∠HFN=∠GEM，由AAS定理可證得△GME≌△HNF，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，由菱形的性質(zhì)可得DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，利用菱形的面積公式易得GM=HN，由AAS定理，易證得△GME≌△HNF，又全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，利用平行四邊形的性質(zhì)和面積公式可得，易得△GME∽△HNF，利用相似三角形的性質(zhì)可得猜想正確．

試題解析：（1）EG=FH

理由是：如圖1，過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D=∠A=∠B=∠C=90°，

又∵GM⊥AB，HN⊥BC

∴四邊形ADGM、四邊形AHNB是矩形，

∴HN=AB，AD=GM，

∴HN=GM，

∵∠ADC=∠HOE=90°，

∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，

∴∠HFN=∠GEM，

∵HN⊥BC，GM⊥AB，

∴∠GME=∠HNF=90°，

在△GME和△HNF中

，

∴△GME≌△HNF（AAS），

∴EG=FH；

（2）EG=FH，

理由是：如圖2，過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，

∵菱形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN，

∴GM=HN，

∵GM⊥AB，HN⊥BC，

∴∠GME=∠HNF=90°，

∵∠ADC=∠HOE，

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，

∴∠HFN=∠GEM，

在△GME和△HNF中

，

∴△GME≌△HNF（AAS），

∴EG=FH；

（3）正確．

理由是：如圖3，過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，DC∥AB，

∵平行四邊形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN

∵AB=a，AD=b，

∴，

∵GM⊥AB，HN⊥BC，

∴∠GME=∠HNF=90°，

∵∠ADC=∠HOE，

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，

∴∠HFN=∠GEM，

∴△GME∽△HNF，

∴．