Question

如圖，已知一次函數的圖象與x軸交于點A，與二次函數的圖象交于y軸上的一點B，二次函數的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．

（1）求二次函數的解析式；
（2）設一次函數的圖象與二次函數的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

（1）（2）P₁（1，0）和P₂（，0）

解：（1）∵交x軸于點A，∴0=0.5x+2，解得x=－4。∴A點坐標為：（－4，0）。
∵與y軸交于點B，∴y=2。∴B點坐標為：（0，2）。
∵二次函數的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2
∴可設二次函數。
把B（0，2）代入得：a=。
∴二次函數的解析式為：，即。
（2）①當B為直角頂點時，過B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點，

∵Rt△AOB∽Rt△BOP₁，∴。
∴，解得：OP₁=1。
∴P₁點坐標為（1，0），      
②當D為直角頂點時作P₂D⊥BD，連接BP₂，

將與2聯立求出兩函數另一交點坐標：D點坐標為：（5，），則AD=。
由A（－4，0），B（0，2）可得AB=。
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D。∴。
∴，解得AP₂=。
則OP₂=。
∴P₂點坐標為（，0）。
③當P為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于點E，設P₃（a，0），

則由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D得：，
∴。
∵方程無解，∴點P₃不存在。
綜上所述，點P的坐標為：P₁（1，0）和P₂（，0）。
（1）根據交x軸于點A，與y軸交于點B，即可得出A，B兩點坐標，二次函數的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．得出可設二次函數，進而求出即可。
（2）分點B為直角頂點，點D為直角頂點，點P為直角頂點三種情況討論，分別利用三角形相似對應邊成比例求出即可。